В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине 17 столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.
Пусть луч распространяется из точки
1 в точку пространства 2 (рис.1.7). Разобьем
траекторию распространения света на
прямолинейные участки, на которых
показатель преломления будет константой,
тогда чтобы свету пройти путь
требуется
время
,
Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно
Величина
имеет размерность длины и эту величину
называют оптическим ходом луча или
оптической длиной пути света
(1,9)
В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна
(1.10)
Пропорциональность времени tпрохождения оптической длине пути лучаLдает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.
С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.
Доказательство закона преломления света с помощью принципа Ферма
Траектория по которой луч света из точки А, нкаходящейся в среде с показателем преломления n 1 , попадает в точку В, расположенную в среде с показателем преломленияn 2, может быть разной, но нам нужно показать, что луч будет распространяться по такому пути, на который он затратит минимальное время.
Опустим из точек А и В перпендикуляры на границу раздела двух сред и расстояния от точек до границы раздела обозначим соответственно а 1 и а 2 .
Так как точка перехода луча из одной среды в другую зависит от того по какой траектории будет распространяться луч света, то расстояние от первого перпедикуляра до точки падения (см.рис 1.8) обозначим x. Расстояние между опущенными перпендикулярами обозначимb.
Рис.1.8
Оптический путь луча будет состоять из двух частей, так как он распространяется в двух разныз средах:
Так как время распространения света из точки А в точку Bдолжно быть минимально, то оптический путь должен быть экстремален, т.е. первая производная оптического пути по времени должна быть равна нулю:
(1.11)
,
а
Поэтому из условия (1,11) получаем
(1.12)
Т.е. закон преломления света доказан.
Полное внутреннее отражение, световоды (эндоскопы) .
Из формулы
(1.12) видно, что при переходе света из
оптически более плотной среды в оптически
менее плотную луч удаляется от нормали
к поверхности раздела сред. Увеличение
угла падения
сопровождается более быстрым ростом
угла преломления ¦
и при некотором ¦ значении угла
,
котором преломленный луч пойдет по
границе раздела двух сред, т.е. угол
достигает
значения равного
,
В этом случае угол падения
называется предельным углом падения и
определяется
(1.13)
Энергия,
которую несет с собой падающий луч,
распределяется между отраженным и
преломленным лучами. По мере увеличения
угла падения интенсивность отраженного
луча растет, интенсивность же преломленного
луча убывает, обращаясь в нуль при
предельном угле. При углах падения,
заключенных в пределах от предельного
угла падения
до
,
световая волна проникает во вторую
среду на расстояние порядка длины волныи затем возвращается
в первую среду. Это явление называется
полным внутренним отражением (см.рис.1.9).
Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов , которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей. Проверьте на опыте будет ли свет от красной лампочки распространяться по изогнутой струе воды.
Явление полного внутреннего отражения лежит в основе волоконной оптики. Свет, попадая внутрь прозрачного волокна, окруженного веществом с меньшим показателем преломления, многократно отражается и распространяется вдоль этого волокна. Диаметр этих тонких стеклянных или пластиковых волокон может быть доведен до нескольких микрометров. Для передачи больших световых потоков и сохранения гибкости светопроводящей системы отдельные волокна собираются в пучки (жгуты) – световоды, свет по световоду может передаваться почти без потерь. Рис1.10 демонстрирует, как распространяется свет по тонкому волокну, испытывая только скользящие отражения от стенок, т.е. претерпевая полное внутреннее отражение.
Если световоду придать сложную форму, то угол падения обычно превышает предельный, и свет будет передан от одного торца световода до другого практически без ослабления. Этот эффект используется в декоративных светильниках и при подсветке струй в фонтане. Волоконная оптика широко используется в медицине. Например, для визуального исследования внутренних полых органов используются гибкие гастроскопы, эндоскопы. С помощью световодов осуществляется передача лазерного излучения во внутренние ткани и органы с целью лечебного воздействия. На рис. 1.12 показаны различные способы подведения лазерного излучения к ткани: 1 - лазерный луч нацелен на ткань через систему диафрагм и линз; 2 - луч подводится через систему подвижных зеркал; 3 - луч проводится по гибкому пустотелому световоду с внутренней зеркальной поверхностью;
4 - луч проводится через гибкий кварцевый световод и дистанционно нацелен на ткань.
Рис. 1.12. Способы подведения лазерного излучения к ткани
Примером природной волоконнооптической системы является сетчатка человеческого глаза. Попадая на сетчатку, свет воспринимается светочувствительными элементами (волокнами двух типов: палочками и колбочками). Этот слой подобен волоконнооптическому устройству. У травянистых растений стебель играет роль световода, подводящего свет в подземную часть растения. Клетки стебля образуют параллельные колонки, напоминая этим конструкцию промышленных световодов. Если освещать такую колонку,рассматривая ее через микроскоп, то видно, что ее стенки при этом остаются темными, а внутренность каждой клетки ярко освещена. Глубина, на которую доставляется таким способом свет, не превышает 4-5 см. Но и такого короткого световода достаточно, чтобы обеспечить светом подземную часть травянистого растения.
Заключение
Итак, свет обладает свойствами электромагнитной волны и потока фотонов, свойства неразделимы и в одних явлениях преобладает одно свойство, а в других другое, что связано с длиной световой волны.
В анизотропной среде абсолютный показатель преломления зависит от направления распространения световой волны.
В законах геометрической оптике используются чисто математические представления о лучах, не рассматривается природа света, законы работают при .
Принцип Ферма является наиболее общим законом геометрической оптике, из этого закона могут быть выведены законы отражения и преломления света. Принцип Ферма определяет оптический путь луча и обратимость хода лучей.
Закон полного внутреннего отражения позволяет понять принципы работы световодов (эндоскопов)
Ст. преподаватель кафедры___________________________
(наименование кафедры)
_______________________ ________________________
(ученая степень, ученое звание, подпись) (И.О.Ф.)
Геометрическая оптика представляет собой раздел физики, который изучает распространение света в виде лучей, независимых друг от друга и подчиняющихся законам отражения и преломления, использую понятия и методы геометрии.
Геометрическая оптика представляет собой предельный случай волновой оптики при условии, что λ->0.
Геометрическая оптика базируется на 4х законах :
Законы прямолинейного преломления света – в однородной изотопной среде свет распространяется по прямой линии, т.е. пренебрегается явление дифракции.
Закон независимости световых лучей . Предполагается, что при пересечении луча не влияют друг на друга. Это справедливо для не очень больших интенсивностей.
Закон отражения света.
Закон преломления света.
В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма .
Свет распространяется по пути, не прохождение которого ему надо затратить минимальное время. Этот принцип может быть сформулирован с использованием понятия оптическая длина пути света.
Время tпрохождения света между двумя точками в неоднородной среде сnможно записать:
ГдеL– оптическая полная длина дуги(1) .
Из (1) видно, что tбудет минимально приL->min.
Поэтому можно сформулировать: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.
Пути света, у которых оптические длины равны, называются таутохромными .
Центрированная оптическая система. Кардинальные элементы цос: фокусы, фокальные плоскости, главные точки и главные плоскости, узловые точки.
Световым лучом считаем линию, по которой распространяется энергия световой волны. Совокупность лучей образуютсветовой пучок . Будем рассматривать гомоцентрические и параллельные пучки лучей.
Если световые лучи (или их продолжения) выходят из одной точки, то пучок гомоцентрический .
Оптическая система представляет собой совокупность оптических деталей, предназначенных для преобразования световых пучков путём преломления и отражения.
Если центры всех оптических поверхностей лежат на одной прямой, называемой оптической осью , то такая система называетсяцентрированной оптической системой .
Любая оптическая система производит преобразование – предмет изображения.
Если каждой точкой предмета соответствует изображение тоже в виде точки и сохраняется геометрическое подобие, то такая система называется идеальной .
Чтобы подчеркнуть тот факт, что точка предмета изображается системой в виде точки, говорят, что это изображение стигматическое (точечное) . Такая точка и её изображение называются сопряжёнными.
Пространство, где могут находиться точки предмета, называется пространством предмета .
Точки пространства, в которых может находиться точки изображения, называются пространством изображения .
Большинство реальных оптических систем можно считать идеальными только для параксиальных (приосевых) лучей, т.е. лучей, которые образуют малые углы с оптической осью и с перпендикулярами к оптическим поверхностям.
Параксиальными являются лучи, при которых выполняется sinα=tgα=α.
Свойства центрированных оптических систем можно полностью определить, если задать координальные моменты – передние и задние фокусы, главные и узловые точки, соответствующие плоскости.
Фокусы оптической системы и фокальные плоскости.
Если на оптическую систему пустить пучок параллельных лучей, причём параллельных главной оптической оси, то они сойдутся в точке, называемой задним фокусом оптической системы .
Задний фокус можно считать изображением сопряжённой бесконечной удалённой точки, находящейся на оптической оси. Отметим, что если фокус образован пересечением продолжений лучей, то задний фокус может находиться и перед системой.
Если параллельный пучок лучей направить со стороны изображения, то они сойдутся в точке – переедем фокусом оптической системы .
Передним фокусом можно считать и точку, сопряжённая в которой точка изображения находится на бесконечности ((на оптической оси). В плоскости, проведённая перпендикулярно оптической оси в заднем и передним фокусе, называется задней и передней фокальной плоскостью.
Под линейным увеличением Г понимают отношение размера изображения к размеру предмета.
Г=y"/y. Будем считать все отрезки или предметы, находящиеся выше оси положительными (+), а ниже – отрицательными (-). Существуют две сопряжённые плоскости, обозначенные HиH’, каждая точка одной из которых отображается на другую с линейным увеличением +1.
Точка пересечения главных плоскостей с оптической осью называется главной точкой .
Главные плоскости НЕ совпадают с оптическими элементами системы.
Узловыми точками переднейNи заднейN’ осей называются две сопряжённые точки на оси, обладающие свойствами, что лучи проходящие через них являются параллельными.
Если оптическая система находится в однородной среде, то узловые точки совпадают с соответствующими главными точками, т.е. N->HиN’->H’.
Задним фокусом расстояния оптической системы будем называть расстояние от задней точкиH’ до заднего фокусаF’ и обозначаемf’.
Передним фокусом расстояния будем называть передней точкойHдо заданного фокусаFи обозначаемf.
При анализе оптической системы используют правила знаков .
Положительное направление луча – слева направо.
Расстояние, отсчитываемое от соответствующей координаты точек к лучу считается >0, против луча - <0.
Из рисунка f’>0, аf<0.
Если перед оптической системой есть среда с n, а после неё среда сn’, то можно доказать, чтоf/f’=-n/n’, т.е. в однородной средеf=-f’.
Ф=n’/f’=n/f–оптическая сила системы . Если Ф>0, тосистема собирающая , если Ф<0 –рассеивающая .
xx"=ff’ –уравнение Ньютона для оптической системы .
1/f’=1/S’-1/S=> -1/S+1/S’=1/f’ –уравнение Гаусса (уравнение отрезка).
Тонкой
линзой
будем называть линзу, толщина
которой во много раз меньше радиусов
кривизныR 1 иR 2 её сферических поверхностей, т.е.d< Фокусное
расстояние линзы Луч света между двумя точками распространяется по тому пути, который занимает меньше всего времени. Принцип Ферма, названный так по имени сформулировавшего его французского физика и математика Пьера Ферма (см.
Великая теорема Ферма) является примером так называемого принципа экстремума
. Принцип экстремума гласит, что любая система стремится к состоянию, при котором значение исследуемой величины принимает максимально или минимально возможное (т. н. экстремальное) значение. Вообще, принцип экстремума лежит в основе целого ряда законов геометрической оптики и распространения света. Что касается принципа Ферма, то он является простым математическим обобщением ранее сделанных наблюдений такого рода, и ранее открытые закон отражения света и закон Снеллиуса непосредственно вытекают из него. То есть, принцип Ферма можно считать теоретическим обобщением всех полученных к моменту его формулировки экспериментальных данных о поведении света. Например, при попадании светового луча внутрь стеклянного параллелепипеда принцип Ферма подскажет нам, на какой угол преломится луч. Весь вопрос сведется к тому, по какому пути должен распространяться луч внутри стекла, чтобы на это ушел минимум времени, учитывая, что в стекле свет распространяется медленнее, чем в воздухе. Поскольку луч в стекле затормаживается, он неизбежно отклонится от направления, под которым он вошел в стекло, иначе возрастет время луча в пути. С другой стороны, если луч внутри стекла пойдет строго перпендикулярно к поверхности стекла, это приведет к увеличению общего пути, пройденного лучом, включая отрезки за пределами стекла, и, как следствие, также к увеличению затраченного времени. Следовательно, для нахождения кратчайшей по времени траектории пути луча между двумя точками нужно найти компромисс между увеличением совокупного пути луча и сокращением пути луча в тормозящей его среде. При строгом геометрическом решении этой задачи (оно не столь сложно, сколь громоздко, поэтому приводить его здесь я не буду) мы получим закон Снеллиуса , описывающий преломление света. Применив же его к отраженному от поверхности лучу, мы без труда, чисто геометрически, получим закон отражения света , согласно которому угол падения равен углу отражения. Иными словами, весь набор законов геометрической оптики выводится из принципа экстремума, согласно которому свет между двумя точками распространяется по пути, на преодоление которого у него уходит наименьшее время. Важно помнить и понимать, однако, что, подобно всем другим эмпирически выведенным законам природы, справедливость принципа Ферма полностью зависит от его экспериментальной проверки, однако данных, которые заставили бы в нем усомниться, на сегодняшний день не имеется. В однородной среде свет распространяется прямолинейно. В неоднородной среде световые лучи искривляются. Путь, по которому распространяется свет в неоднородной среде, может быть найден с помощью принципа, установленного французским математиком Ферма в 1679 г. Принцип Ферма гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.
Для прохождения участка пути dS
(рис. 1.3) свету нужно время dt
= dS/v,
где v -
скорость света в данной точке среды. DS Рис. 1.3. К выводу принципа Ферма. Заменив v
через с
и п
по формуле (1.3), получим, что .
Следовательно, времяt
, затрачиваемое светом на прохождение пути от точки1 доточки 2, можно вычислить по формуле Согласно принципу Ферма t
должно быть минимальным. Поскольку с -
константа, должна быть минимальна величина которую называют оптической длиной пути
. В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути S на показатель преломления среды п:
L
= nS.
(1.5) Принцип Ферма можно сформулировать следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.
Основные законы оптики. Полное отражение Еще до установления природы света были известны следующие основные законы оптики: закон прямолинейного распространения света в оптически однородной среде; закон независимости световых пучков (справедлив только в линейной оптике); закон отражения света; закон преломления света. Закон прямолинейного распространения света:
свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно. Доказательством этого закона является наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света (источники, размеры которых значительно меньше освещаемого предмета и расстояния до него). Тщательные эксперименты показали, однако, что этот закон нарушается, если свет проходит сквозь очень малые отверстия, причем отклонение от прямолинейности распространения тем больше, чем меньше отверстия. Закон независимости световых пучков
: эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо. Если свет падает на границу раздела двух сред (двух прозрачных веществ), то падающий луч I (рис. 1.4) разделяется на два - отраженный II и преломленный III, направления которых задаются законами отражения и преломления. Рис. 1.4. К законам отражения и преломления света. Закон отражения:
отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; угол i ` 1 отражения равен углу i 1 падения: Закон преломления:
луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред:
где n 12 - относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Индексы в обозначениях углов i 1 , i ` 1 , i 2 указывают, в какой среде (первой или второй) идет луч. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления: Абсолютным показателем преломления среды называется величина “n”, равная отношению скорости “с” электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости “v” в среде: Напомним ещё раз, что , где e
и m
- соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды. Учитывая (1.6), закон преломления (1.2) можно записать в виде откуда можно получить уравнение, которое не только описывает поведение светового пучка на границе раздела слоистых сред, но и может быть поименовано как закон обратимости луча:
Обратимость световых лучей вытекает из симметрии выражения (1.7). Если обратить луч III (рис. 1.4), заставив его падать на границу раздела под углом i 2 , то преломленный луч в первой среде будет распространяться под углом i 1 , т. е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I. Фундаментальным следствием закона преломления света является закон полного внутреннего отражения.
Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n 1 (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n 2 (оптически менее плотную) (n 1 >n 2), например, из стекла в воду, то, согласно (31.7), Отсюда следует, что преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления i 2 больше, чем угол падения i 1 (рис. 31.5, a). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления (рис. 31.5,б,в) до тех пор, пока при некотором угле падения (i = i пр) угол преломления не окажется равным p
/2. Угол i пр называется предельным углом. При углах падения i > i пр весь падающий свет полностью отражается (рис. 31.5, г). По мере приближения угла падения к предельному интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного - растет (рис. 1.5, а-в). Если i = i пр, то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего (рис. 1.5, г). Таким образом, при углах падения в пределах от i пр, до p
/2 луч не преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление и называется полным отражением.
Предельный угол i пр определим из формулы (1.7) при подстановке в нее i 2 = p
/2. Уравнение (1.8) удовлетворяет значениям угла i пр при n 2 £n 1 . Следовательно, явление полного отражения имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.
Явление полного отражения используется в световодах (светопроводах), представляющих собой тонкие, произвольным образом изогнутые нити (волокна) из оптически прозрачного материала. В волоконных деталях применяют стеклянное волокно, световедущая жила (сердцевина) которого окружается стеклом - оболочкой из другого стекла с меньшим показателем преломления. Свет, падающий на торец световода под углами, большими предельного, претерпевает на поверхности раздела сердцевины и оболочки полное отражение и распространяется только по световедущей жиле. Таким образом, с помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Диаметр световедущих жил лежит в пределах от нескольких микрометров до нескольких миллиметров. Для передачи изображений, как правило, применяются многожильные световоды. Вопросы передачи световых волн и изображений изучаются в специальном разделе оптики - волоконной оптике, возникшей в 50-е годы XX столетия. Световоды используются в электронно-лучевых трубках, в электронно-счетных машинах, для кодирования информации, в медицине (например, диагностика внутренних органов), для защиты средств связи от воздействия сверхмощного электромагнитного импульса, возникающего при взрыве атомных и термоядерных боеприпасов и т. д. 1. Пьер Ферма (1601--1675) выдвинул принцип, согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. Ферма руководствовался телеологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно: она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшей затратой средств. Подобные соображения, конечно, чужды науке и не могут служить обоснованием принципа Ферма. Но сам принцип (после введения некоторых уточнений) верен и может оказаться полезным при решении отдельных вопросов геометрической оптики. Это было продемонстрировано уже самим Ферма, который с помощью своего принципа вывел закон преломления Снеллиуса и получил такое же выражение для показателя преломления, что и в волновой теории света. В частности, он пришел к заключению, что скорость света в более преломляющей среде меньше, чем в менее преломляющей. 2. Для доказательства принципа Ферма допустим сначала, что показатель преломления среды меняется в пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что условия применимости геометрической оптики выполнены. Пусть в среде распространяется волна вида (где а(r) , Ф(r) - вещественные функции координат. Волновое число например порожденная точечным источником. Ей соответствует система лучей, представленная на рис. 2. Если эйконал Ф - однозначная функция координат, то из уравнения gradФ=ns (где s - единичный вектор нормали к фронту волны) следует, что циркуляция вектора ns по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е. где dl -- вектор элементарного смещения вдоль этого контура. Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из лучей. Соединим их произвольной линией ADB. В силу (3) На луче АСВ векторы s и dl направлены одинаково, следовательно, (sdl)=dl. На линии же ADB (sdl)=dl cos (s,dl) Знак равенства относится только к случаю, когда кривая ADB сама является лучом. Таким образом, если показатель преломления меняется в пространстве непрерывно, то оптическая длина луча между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки. Но это есть другая формулировка принципа Ферма, так как оптическая длина луча пропорциональна времени распространения света вдоль него. Приведенная формулировка принципа Ферма нуждается в уточнении. В некоторых случаях она может оказаться неверной. Рассмотрим например, среду с сферически симметричным распределением показателя преломления вокруг центра О (рис. 3). Примером такой среды может служить планетная атмосфера. Предположим, что показатель преломления меняется в пространстве так, что световой луч, выйдя из какой-либо точки перпендикулярно к радиусу, описывает окружность с центром в точке О. Пусть свет попадает из точки А в точку В по большой дуге АСВ этой окружности. Но он может пройти из А в В и по дуге ADB той же окружности, затрачивая на распространение меньшее время. Меньшее время потребовалось бы и в том случае, если бы свет избрал какой-либо другой путь, бесконечно близкий к дуге ADB. Все это противоречит принципу Ферма в приведенной выше формулировке. Причина противоречия состоит в том, что в приведенном примере эйконал Ф не есть однозначная функция координат, как это предполагалось при выводе. Действительно, если луч описывает окружность вокруг центра О, то он вернется в исходную точку с новым значением эйконала: эйконал Ф получит приращение nl , где l -- длина описанной окружности. Если окружность описывается т раз, то приращение эйконала будет 2mп1. Это и значит, что функция Ф неоднозначна. Для справедливости принципа Ферма необходимо наложить на выбор воображаемых путей распространения света такие ограничения, чтобы эйконал Ф вел себя как однозначная функция координат. В приведенном примере этого можно достигнуть, поставив перегородку вдоль меридиональной полуплоскости ODE и ограничиваясь только такими путями, которые не пересекают эту перегородку. Подобным приемом можно воспользоваться и во всех остальных случаях, в которых эйконал Ф оказывается неоднозначным. Впрочем, в применениях принципа Ферма достаточно ограничиться только такими путями, которые проходят бесконечно близко от действительного пути света. В этом случае надобность во введении перегородок отпадает. 3. При наличии поверхностей раздела сред, на которых лучи могут испытывать отражение или преломление, в формулировку и доказательство принципа Ферма надо ввести дополнения. Пусть луч, выйдя из точки А (рис. 4), после отражений или преломлений в точках С, D,Е, попадает в точку В. Назовем виртуальным путем света любую линию AC"D"E"B между крайними точками А и В, которая получается из ACDEB в результате бесконечно малого бокового смещения ее и отличается от нее бесконечно мало по направлению. Принцип Ферма утверждает, что оптическая длина действительного светового пути (или пропорциональное ей время распространения) стационарна. Это значит, что разность оптических длин действительного и виртуального путей света есть величина более высокого порядка малости, чем боковое смещение виртуального пути относительно действительного. Только эта стационарность, а не минимальность оптической длины луча и существенна в приложениях. При доказательстве достаточно ограничиться преломлением на одной границе. Случай отражения исследуется так же. Пусть MN -- граница раздела сред 1 и 2, а АСВ -- действительный луч, соединяющий течку А с точкой В (рис. 5). Вообразим два бесконечно узких пучка лучей: один в первой среде, исходящий из точки А, другой во второй среде, сходящийся в точке В. За положительные направления лучей примем направления от А к В. Выберем в этих пучках два луча АС" и C"В, пересекающихся на границе раздела в точке С". Кривую АС"В можно рассматривать как виртуальный путь света, так как луч С"В в общем случае отнюдь не возникает в результате преломления луча АС" . Обозначим через и эйконалы рассматриваемых пучков лучей, отсчитываемые от точек А и В соответственно. Тогда Вариация интеграла при смещении точки С в произвольную бесконечно близкою точку С" границы раздела будет Если -- вектор смещения, то и аналогично, так что В силу закона преломления Снеллиуса вектор перпендикулярен к границе раздела сред в точке падения, а потому и к бесконечно малому смещению вдоль границы Таким образом, в первом порядке по вариация оптической длины луча АСВ обращается в нуль. При доказательстве предполагалось, что виртуальный путь состоит из отрезков лучей АС" и СВ". Однако результат отрезки заменить произвольными бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же точки A и С", С" и В, В самом деле, поскольку АС" и С" В -- действительные лучи в первой и второй средах, их оптические длины по доказанному выше минимальны. По этой причине замена действительных лучей АС" и С"В бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же крайние точки, не меняет в первом порядке оптические длины соответствующих путей. Следовательно, вариация оптической длины луча АСВ останется равной нулю, каков бы ни был виртуальный путь света. А к этому в рассматриваемом случае и сводится содержание принципа Ферма. 4. В применениях иногда удобна следующая теорема, являющая- ся непосредственным следствием принципа Ферма. Пусть А и В -- произвольные точки луча АСВ (рис.6). Проведем через точку В произвольную гладкую поверхность BE, ортогональную к лучу АСВ в точке В. Пусть BD -- бесконечно малое смещение вдоль этой поверхности. Соединим начальную точку луча А с точкой D произвольной линией AHD, бесконечно мало отличающейся по направлению от луча АСВ. Тогда вариация оптической длины при переходе от истинного пути света АСВ к виртуальному AHD будет равна нулю. Для доказательства возьмем пучок лучей, исходящих из точки А. Все А эти лучи ортогональны к волновому фронту BF, а их оптические длины от точки А до волнового фронта одинаковы. В частности, (АСВ) = (АМК). Но по принципу Ферма с точностью до бесконечно малых высшего порядка (АМК) = (AHK). Далее, поскольку поверхности BDE и BKF касаются друг друга в точке В, длина луча KD будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению с BD. Поэтому оптическая длина AHD будет отличаться от оптической длины АСВ также на величину высшего порядка малости по сравнению с боковым смещением BD. Это и требовалось доказать. 5. Если между собой, то в каждой среде путь света будет прямолинеен. В этом случае задача сводится только к нахождению точек на поверхностях раздела сред, в которых происходит отражение и преломление светового луча. Поэтому нет необходимости вводить криволинейные виртуальные пути света. Достаточно ограничиться ломаными виртуальными путями, состоящими из отрезков прямых линий, причем изломы таких путей должны происходить на границах раздела рассматриваемых сред. Даже при таких ограничениях оптическая длина действительного светового пути может быть не только минимальной, но и максимальной или стационарной. Чтобы показать это в случае отражения света, возьмем эллипсоидальное зеркало, получающееся от вращения эллипса вокруг его большой оси (рис. 7). Пусть и - фокусы эллипсоида Если А --точка на его поверхности, то где 2а -- длина большой оси эллипсоида. Поверхность зеркала делит все пространство на две части: внутреннюю, сумма расстояний каждой точки которой от фокусов и меньше 2а, и внешнюю, для которой эта сумма больше 2а, Пусть световой луч выходит из фокуса Тогда после отражения от эллипсоидального зеркала в точке А он пройдет через второй фокус F 2, так как по известному свойству эллипса прямые A и F 2 A образуют одинаковые углы с нормалью к поверхности зеркала. При смещении вдоль поверхности зеркала сумма А+ F 2 A, а с ней и время распространения света из в F 2 не изменяются. Вариация времени распространения при таком смещении равна нулю. Однако это время ни минимально, ни максимально -- оно постоянно. Именно по этой причине любой луч, вышедший из F l, обязательно пройдет через F 2 , в какой бы точке зеркала он ни отразился. Убедиться в этом можно с помощью таких же рассуждений, какие были приведены в пункте 3. Вообразим теперь зеркало S, касающееся эллипсоида в точке А, обращенное вогнутостью в ту же сторону, что и эллипсоид, но имеющее большую кривизну. Световой луч A после отражения от этого зеркала снова попадает в точку F 2 . Однако при смещении точки А по поверхности зеркала S длина ломаной AF 2 уменьшается. Следовательно, время распространения света из в F 2 вдоль действительного пути максимально. Наоборот, если взять зеркало S" имеющее в точке касания меньшую кривизну, чем эллипсоид, или обращенное вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения света вдоль действительного пути будет минимально. В частности, оно минимально при отражении от плоского зеркала. Допустим, наконец, что зеркало SAS" имеет в А точку перегиба. Тогда при смещении точки падения луча по поверхности этого зеркала время распространения либо увеличится, либо уменьшится, либо останется неизменным, в зависимости от направления смещения. 6. Чтобы разобрать случай преломления, введем понятие анаберрационной поверхности. Пусть точка Р находится в однородной среде с показателем преломления n, а точка Р" -- в однородной среде с показателем преломления n" (рис. 8). Поверхность АА", вдоль которой среды граничат друг с другом, называется анаберрационной, если любая точка А этой поверхности удовлетворяет условию n*РА + n"* АР" = С = const. (9) Для случая преломления анаберрационная поверхность имеет форму так называемого картезианского овала. Он обращен вогнутостью в сторону более преломляющей среды (n" > n). Анаберрационная поверхность делит пространство на две части, обладающие следующим свойством. Если точка М расположена в менее преломляющей среде, то сумма n*РМ + n"*MP" больше С; если же она лежит в более преломляющей среде, то эта сумма меньше С. Докажем следующую теорему. Луч света, вышедший из точки Р, после преломления на анаберрационной поверхности обязательно пройдет через точку Р". Действительно, пусть РА -- падающий луч, as -- единичный вектор, направленный вдоль него. Соединим точку А с точкой Р" и обозначим через s" единичный вектор, направленный вдоль прямой АР". По определению анаберрационной поверхности вариация оптической длины ломаной РAР" при смещении точки А по анаберрационной поверхности будет равна нулю. Поэтому, применяя такие же рассуждения, какие были проведены в пункте 2, найдем, что вектор ns -- n"s" перпендикулярен к анаберрационной поверхности в точке А. Отсюда следует, что АР" дает направление преломленного луча. Доказанной теореме можно дать также следующую формулировку. Если АА" -- анаберрационная поверхность относительно пары точек Р и Р", то каждая из этих точек будет оптическим изображением другой при преломлении лучей на этой анаберрационной поверхности. При этом на угловую ширину пучка лучей не накладывается никаких ограничений. Вернемся к исследованию характера экстремума оптической длины луча при преломлении. Наши рассуждения ничем не будут отличаться от рассуждений, проведенных выше для эллипсоидального зеркала. Допустим, например, что среды граничат друг с другом вдоль поверхности S (рис. 8), касающейся анаберрационной поверхности в точке A. Тогда падающий луч после преломления в точке А опять пройдет через точку Р". Пусть поверхность S обращена вогнутостью в ту же сторону, что и анаберрационная поверхность, и имеет в точке касания большую кривизну. Тогда при смещении точки падения вдоль S она окажется в менее преломляющей среде. Следовательно, смещенный путь будет иметь меньшую оптическую длину, чем действительный: время распространения света вдоль действительного пути максимально. Напротив, когда кривизна поверхности S в точке касания А меньше кривизны анаберрационной поверхности, а также тогда, когда поверхность S обращена вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения вдоль действительного пути минимально. В частности, оно Минимально при преломлении на плоской поверхности.
,
гдеn– показатель
преломления материала линзы по отношению
к среде, где она находится;R 1 иR 2 – радиусы
кривизны 1-ой и 2-ой поверхности. При
подстановкеRнадо
использовать правило знаков: если центр
кривизны справа (слева) от сферической
поверхности, тоR- “+” (R– “-“).
n 1 ×sini 1 = n 2 ×sini 2 = n 3 ×sini 3 =… (1.7)
Рис. 1.5. Наблюдение явления полного внутреннего отражения.
Тогда
(1.8)
